Basic statistics 是一項讓使用者能快速檢視輸入數列之基本統計數據的工具。

說明：

令代表長度為 N 的數列(不限定為時間序列)， Basic Statistics 將計算下列各項統計資訊。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)、複數(complex number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號 ( signal ) 輸入，相關參數定義詳列如下表。

範例(Example)

計算白色雜訊與方波的基本統計分析：

相關指令

Equiphase Statistics，Rolling Statistics，Merge to Multi。

參考

Michel Loeve, "Probability Theory", Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlaf, 1977

Joanes, D. N.&Gill, C. A.(1998) Comparing measuresof sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189.

共變異數是計算兩組數列各自對其平均值的變化相關程度，若值為正，代表兩數列呈正相關，值為負代表兩數列呈負相關。倘若有多比數列資料互相比較，則可將各資料對應之共變異數組成一個共變異數矩陣。

說明

，為兩組數列，則總量之共變異數(Covariance)計算如下：

其中、分別為兩數列的平均值。若考慮樣本不偏估之估計量（Unbiased estimator），則方程式為

若有一組多通道(multi-channel)的數列，通道數為 M，則各通道間對應的總量/樣本相關係數可表示為共變異數矩陣。

，其中 l，k 為數列通道編號。

其中矩陣的對角項(Diagonal terms)就是該通道數列的變異數，即：

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，多通道(multi-channel)，regular 的訊號 ( signal ) 輸入。輸出為一個 M x M 的方形矩陣，其中 M 為通道數，輸出格式是 Indexed 的數值資料。計算結果於 Properties / View Matrix… 即可開啟 Reporter 視窗看到。

參數為 Unbiased Moment Estimation，可選擇是否計算樣本不偏估之共變異數矩陣，預設為“False”。

範例(Example)

以不同相位角與頻率的正弦波為輸入訊號計算其相關係數矩陣：

Sine2 的參數設定如下圖。

Sine3 Properties

共變異數值的大小可衡量兩數列值變化的程度，值為正代表兩數列值相對於平均的變化趨勢相同，為正的線性相關，值為負代表兩數列值相對於平均的變化趨勢相反，為負的線性相關。另外可注意到矩陣的對角項為各通道的變異數。

相關指令

Correlation Matrix，Orthogonality Matrix，Merge To Multi-Channel，RCADA EEMD。

參考

N.G. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry. New York: North-Holland, 1981.

相關係數(Correlation Coefficient)即是正規化的共變異數，可指出兩組數列的相關程度，倘若有多筆數列相互交差比較，則可將各相關係數組成相關係數矩陣。

說明

令，為兩組數列，則相關係數(Correlation Coefficient)之計算如下：

其中、分別為兩數列的平均值，、分別為兩數列的標準偏差。若考慮樣本不偏估之估計量（Unbiased Moment estimator），則方程式為

其中為兩樣本數列的相關係數，、分別為兩數列的樣本標準偏差。相關係數之定義可視為共變異數除以兩數列之標準偏差。若有一組多通道(multi-channel)的數列，通道數為 M，則各通道間對應的總量 ／ 樣本相關係數可表示為相關係數矩陣。

其中l，k 為通道代碼。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)輸入。輸出為一個 M x M 的方形矩陣，M 為channel數，輸出格式是 Indexed 的數值資料。於 Properties / View Matrix… 即可用Reporter視窗看到計算結果。

參數為 Unbiased Moment Estimation，可選擇是否計算樣本不偏估之相關係數矩陣，預設為 " False "。

範例(Example)

以不同相位角與頻率的正弦波為輸入訊號計算其相關係數矩陣結果：

Sine2 Properties

Sine3 Properties

矩陣的對角項為各通道對自己的相關係數，所以等於 1；除了對角項之外，值最大的相關係數為 IMF_h5 與 IMF_h1，表示這兩組訊號有較強的相關性，其餘大多數的相關係數值都小於正負 0.1，代表其餘 IMF 彼此間的相關性很小。

相關指令

Covariance Matrix，OrthogonalityMatrix，Merge To Multi-Channel，Channel Viewer，RCADA EMD。

參考

Cohen, J., Cohen P., West, S.G.,&Aiken, L.S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis forthe behavioral sciences. (3rd ed.) Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associmtes.

等相位統計值，為設定一段長度為 M 的週期，在此週期下計算每個同相位元素的統計值，譬如計算月均值，週均值等，此計算方式即為 Equiphase Statistics。

說明

為一組個數為 N 的數列，而 Equiphase Statistics 所設定的週期大小為 M，M<N，則此數列可分作 K = Ceiling ( N / M ) 個小數列，Ceiling 表示小數點後無條件進位，令小數列為，k 標示小數列編號，j 標示數列內之元素，則

，，（如下圖所示）

EquiphaseStatistics 就是抽出每個中相同相位的元素作為一組，計算其統計值，譬如 equiphase mean 的計算如下。

，。

須注意當 N / M 不整除時，最後一組小數列長度 M_last<N，因此當相位元素時，計算之元素數量為 K，當元素 j>M_last 時，計算元素數量為 K-1。

Equiphase statistics 可計算多種統計值，其中大部份與 Basic statistics 模組相同，此處不再贅述，算式請參照 Basic statistics 內容，其它部份，譬如 First quartile、Third quartile 與 Quantile 的詳細定義請參考 Quartiles and Quantiles 模組。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入。參數定義如下。

Type選項定義如下，計算於窗內範圍的統計量。

部分選項會再出現參數需要設定，Quantile 的參數請參閱 Quartiles and Quantiles 模組說明，其餘統計量的定義請參考模組Basic Statistics內容。

範例(Example)

以一組 Brownian Noise 為輸入訊號，計算 Equiphase Statistics 的各項統計值。

相關指令

Basic Statistics，Rolling Statistics，Quartilesand Quantiles， Channel Viewer。

參考

1. Michel Loeve, "Probability Theory", Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlaf, 1977

2. Joanes, D. N.&Gill, C. A. (1998)Comparing measures on sampleskewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189.

Kernel smoothing density estimation 是以非參數化(non-parametric)的方法計算出數列的機率密度函數( probability density function )。

說明

設數列為，則數列的 kernel density estimation 為：

其中 h 是控制平滑程度的參數，即平滑窗 ( smoothing window ) 的長度，K 是核函數 ( kernel function )。此方法是將離散分佈之每個點代入核函數中，再疊加每個點的核函數計算結果，以達到平滑之目地。在概念上與作統計直方圖類似。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)輸入；輸出訊號格式為實數，多通道，regular的訊號。

參數定義整理如下表。須注意 KS Density 輸出的訊號格式，一組輸入訊號會產生一組兩個通道的輸出訊號，第一個通道為 X 軸資料，以資料的極大及極小為上下界限，第二個通道為 Y 軸資料，為數列數值相對應之機率密度值。

下表整理常見核函數之定義。

範例(Example)

這兩張圖的基本概念是相同的，kernel smooth density 是以 kernel function 將數值出現的機率轉為連續的密度函數表示，而 histogram 是以值區間計算每個區間內數值發生的機率；且本模組所計算的密度函數其 X 軸以上的面積為 1，而 histogram 的 Y軸直接是發生次數。

將 KSDensity 的 Properties / Width 調大一點，調整到 1.2，可看到結果更為平順。

相關指令

Histogram，Noise，XY Plot。

參考

T. Hastie, R. Tibshirani and J. Friedman, The Elements of Stbtistical Learning, Chapter 6, Springer, 2001.

正交性矩陣是計算數列間的正規化的內積 ( Dot Product )，若兩訊號正交，則其值為零，可以用在 EMD 計算的 IMF 上，判斷各 IMF 彼此間是否正交。

說明

令，為兩組數列，則其正交性定義為兩數列的內積，計算如下：

若有 M組數列，與其對應的正交性矩陣表示如下：

，其中 l，k 為通道編號。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)輸入。輸出為一個 M x M 的方形矩陣，M 為輸入訊號的通道數，輸出格式是Indexed的數值資料。於Properties/View Matrix…即可用Reporter視窗看到計算結果。

範例(Example)

以不同相位角與頻率的正弦波為輸入訊號計算，正交性矩陣：

相關指令

Covariance Matrix，Correlation Matrix，Merge To Multi-Channel，Channel Viewer。

參考

Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill, 211.

四分位數與分位數。分位數為一數列經排序後，其分佈位置占總量某個百分比的數值，而四分位數是在總量25%、50%、75%的位置的數值。

說明

令為一組個數為N的數列，則四分位數可表示為

，

若以較明確的說法，一數列的四分位數是其累積分佈函數等於 25% 的數值，位置 q 在 N * 25% - 1 處，中位數與四分之三位數也是相同的概念。分位數 Quantile 則是更一般化的分位數，以百分比為標準，如 17 位數(17^thquantile) 代表在數列中累積分佈函數等於17%的數值。

若估計分位數時，該分位位置在兩點之間(即 q = N * p - 1 不為整數)，則需要推估該分位的位置，估計方法眾多，本元件整理五種較常用的計算式供使用者選擇。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)、複數(complex number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)輸入。

參數設定介面如下圖，本模組預設就計算數列的四分位數、中位數、四分之三位數等 Quartiles 值，另外可在參數 Quantile Fractions 下設定希望計算的 Quantiles 值。參數View Quartiles and Quantiles…會跳出視窗顯示計算結果。參數 Quantile Method 則可選擇 Quantile 的估計方法。下面就各參數內容分項說明。

上圖為按下 View Quartiles and Quantiles… 右方鈕即跳出視窗，每一筆訊號的計算結果以 Column 為單位呈現，第一個 Column 顯示 Quartile 與 Quantile 名稱，第二 Column 之後每個 Column 都對應至輸入訊號每個 Channel，前三 Rows 計算三個四分位值，後面的 Rows 計算Quartiles，使用者利用參數 Quartile Fractions 來設定。下面將介紹參數 Quantile Fractions。

Quantile Fractions 有兩種方式可以設定分位數。第一種方法是直接在欄位裡更改數據，譬如在0.1與0.25之間鍵入「0.2,」(如下圖)，就可以新增分位數。

第二種方法是按下 Quantile Fractions 右方鈕，跳出分位數編輯視窗(如下圖)，如果一次需要新增或移除很多個分位數，可以採取此作法。左邊為設定的 Quantile Member，使用者可以用下面的 Add / Remove 按鈕新增/移除計算項目，另外可以在右邊視窗編輯每個 Member 要計算的 Quantile 的比例，如 0.01 代表 1% Quantile，編輯完成後，按下 OK 鈕即完成設定。設定後這些 Quantiles 的計算結果會顯示在成 View Quartiles and Quantiles…視窗中。

Quantile Method 內有五種方法，分別為 linear、next、mean、weighted mean、nearest，其估計原理在理論中都有詳述。

範例(Example)

以一組Brownian Noise為輸入訊號，計算 Quartiles 與 Quantiles。

相關指令

Basic Statistics，Rolling Statistics，Channel Viewer。

滾動統計值，為設定一段元素數量為 M 的窗，統計函數計算窗內部份的統計值，譬如平均值，並且移動此窗以計算出的新的數列，此計算方式即為 Rolling statistics。

說明

令為一組個數為 N 的數列，而 rolling statistics 所設定的窗長度為 M，M<N，則此窗內的元素可表示為，其中，Rolling statistics 就是計算此窗內的統計值，譬如 Rolling mean

，。

另外定義一個 overlap 值 ( p ) ，p 代表計算下一段窗時，有多少窗內的元素是與前一段重疊的。以 rolling means 為例，設定窗大小 M = 10，則輸出值第一點

， 即下圖

範圍是訊號位置 0 至 9 ，如上圖所示，若 p = 9，則計算下一段窗的範圍是在訊號位置 1至 10處，即

兩段相比有 9 個位置重疊。倘若 p = 7，則

，

與前段相比有 7 個訊號位置重疊，以此類推，輸出數列的長度為

，

須注意當 m - p>1 時，輸出數列的長度 K 可能無法整除的狀況，而處理方式為捨去餘數，僅保留完整的窗所計算的結果，因此

。

Rolling statistics 可計算某種統計值，項目與 Basic statistics 模組相同，此處不再贅述。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)、複數(complex number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)輸入。參數定義如下。

Type選項定義如下，計算於窗內範圍的統計量。

部分選項會再出現參數需要設定，Trimmed Mean 請參考 Basic Statistics 說明文件，Quantile 的參數請參閱 Quartiles and Quantiles 說明文件，其餘統計量的定義請參考模組 Basic Statistics 內容。

範例(Example)

以一組 Brownian Noise 為輸入訊號，計算 rolling statistics 的各項統計值。

相關指令

Basic Statistics，Equiphase Statistics，Quartiles and Quantiles，Merge To Multi-Channel，Channel Viewer。

先針對母體做出一個適當暫時性假設，再依據隨機樣本統計量的抽樣分配，定義出一個拒絕假設的標準，如果樣本統計量計算後落在拒絕區，則推翻原先建立之暫時性假設，否則必須接受暫時性假設。

理論(Theory)

實驗所得到數據包含機會誤差、真實誤差以及其他影響，利用假設檢定來解決這類問題。一般而言包含三個步驟，設定假設、選擇檢定方法、判斷是否接受假設。

虛無假設 ( Null Hypothesis ) : 實驗數據間的差異屬於機會誤差。

對例假設 ( Alternative Hypothesis ) : 實驗數據間的差異屬於真實誤差。

1. Z-test :

Z-test中為輸入訊號的平均(樣本平均)，為假設母體平均，為母體標準差，

n 為輸入訊號數量(樣本數量)。

2. T-test :

T-test中為輸入訊號的平均(樣本平均)，為假設母體平均，為樣本標準差，n 為輸入訊號數量(樣本數量)。

實驗過程中，進行重複相當多次的實驗，實驗結果的平均將會呈現常態分佈 ( 如下圖 )，若要檢驗某次實驗結果是否擁有機會誤差，可以利用Z-test、 T-test，計算出此次實驗平均結果座落常態分佈何處。研究者假設一個拒絕虛無假設範圍，( 以佔常態分佈面積的比例，又稱 Significant Level )，再依照檢定方法 Null (雙尾)、RightTail (右尾) 和 LeftTail (左尾) ( 如下圖 )，判斷實驗平均結果是否落入拒絕範圍。

3.Var-Test (Chi-square variance test) :

Var-test中為樣本變異數，為母體變異數， n 為輸入訊號數量(樣本數量)。

4.Runs-Test ( Runs test of Randomness, Geary test ):

在 Runs-Test 中，為樣本中大於樣本平均值的數量，為樣本中小於樣本平均值的數量，R 為由 a , b 的交替出現次數，列如 aaabbaaba，則 R=5。

參數設定(properties)

Hypothesis Test 目前有四種 One-sample 檢定方法，下面將個別介紹四種檢定方法的參數設定，各參數定義與預設值如下：

如果按下 View Test Result 將會出現檢定結果，顯示結果如下表。

Z-Test

T-Test

Var-Test

Runs-Test

範例(Example)

本範例將舉出幾個範例，解釋各種檢定方法的使用。

相關指令

Noise、Square、Basic Statistics