傅立葉轉換為將時間訊號轉換為頻率之訊號，藉此檢視訊號內之的頻率與振幅分佈，其結果可以用傅立葉反轉換計算回原始的時間訊號。此理論廣泛的應用於通信、聲音訊號、系統分析以及自然科學等領域。

說明

為輸入訊號的第 n 個資料，一般而言，則訊號之離散傅立葉轉換為定義如下：

其離散傅立葉反轉換之定義如下：

而在 Visual Signal中，離散傅立葉轉換定義為：

離散傅立葉反轉定義為：

當輸入訊號，並不是周期性訊號( 既訊號頭與訊號尾並不連續且可微，此不良結果稱為洩漏效應 Spectral Leakage)，插入窗函數 ( window ) 可降低 Spectral Leakage 的效應。

在離散傅立葉轉換，Resolution 屬性可用以增加頻率上的解析度。訊號長度越長，訊號的周期性越明確，所以增大 Resolution 可以增加訊號長度，可以增加頻率上的解析度。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出格式為複數，單通道，regular的訊號(signal)。參數定義與相關設定如下。

參數 RemoveDC 計算出訊號的平均值並減去，參數 Min 與 Max 可調整作傅立葉轉換的頻率範圍，Window 參數內有六種常用的窗函數，目的是將離散訊號變的較為平滑並改善因 Spectral Leakage 而造成的數值誤差。

參數名稱	參數定義	預設值
RemoveDC	為消除訊號於縱軸之平移量，使訊號之平均為零。	True
Min	設定傅立葉轉換的頻率下限。	0
Max	設定傅立葉轉換的頻率上限，大小依輸入訊號不同而異。	auto
Resolution	調整傅立葉轉換時採用之解析度，意思為將整個資料列重複接續在原資料後面。如原資料數列為1-100，若將resolution設為2,既為第101個數列值同第一個，第102個數列值同第二個…以此類推，持續至200。	1
Window	以窗函數降低洩漏效應對轉換的影響，採用之函數包括Barlett、Blackman、Flat Top、Hanning、Hamming、Gauss 等六種類型，各函數之定義詳見下節窗函數說明。	none

窗函數說明(Window Function)

窗函數	定義與圖形
None
Barlett
Blackman
FlatTop
Hanning
Hamming
Gauss

下圖為傅立葉反轉換的參數設定。

傅立葉反轉換的參數為 Resolution，意義與上述傅立葉轉換中的參數雷同，調整後，傅立葉反轉換之訊號數量將依 Resolution 值倍增。

範例(Example)

本範例(Example)運用 Source 模組產生頻率 10，TimeLength 為 0.9sec 的 sinewave，與頻率 3；TimeLength 為 0.9 的 sine wave 相加的訊號，先以 Fourier Transform 計算出訊號之頻譜，調整 Resolution 與 Window 提高頻譜的辨視度，再將頻譜以 IFFT 反轉換計算出原來的訊號。

由於頻率集中在 20 以下，而 Viewer 的 Properties 內的 Xmax 預設是500，因此將該欄位設為 30，以便於觀察頻譜。

相關指令

Short-Term Fourier Transform，Haar Wavlet Transform。

參考

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Discrete Cosine Transform ( 以下簡稱 DCT )離散餘弦轉換，可將訊號轉換為由 cosine 構成的序列，類似於作離散傅立葉轉換的實數部份；訊號轉換後大部份能量分佈於低頻處。其應用在音訊或影像方面的壓縮，以及求解偏微分方程的數值方法。

說明

常見的離散餘弦轉換可概分八種不同類型，本模組採用的是第二型。令代表長度為 N 之時間序列，則離散餘弦轉換定義如下：.

，

其反轉換定義如下：

，

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出格式為實數，單通道，regular的訊號(signal)。離散餘弦轉換其參數設定如下，反轉換則無設定參數。

參數名稱	參數定義	預設值
RemoveDC	消除訊號於振幅方向的平移量	Trde
Window	訊號於轉換前是否需加窗函數濾波，詳細說明可參閱FFT內容。	None

範例(Example)

本範例(Example)運用 Source 產生頻率 10、TimeLength 為 0.9 sec 的 sine wave 與頻率為 3Hz，TimeLength 為 0.9sec 的 sine wave 相加的訊號。先以 DCT 計算出訊號之頻譜，再將頻譜以 Inverse DCT 計算出原來的訊號。

相關指令

Fourier Transform，Channel Viewer。

參考

http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

Haar Wavelet 是首先發表的小波函式，由 Alfréd Haar 所提出，小波理論也自此發展。Haar Wavelet 是最簡單的小波，但由於不是連續函數，所以作為基本小波，性能並不是特別好。但 Haar 小波是最簡單的正交小波，為二進小波變換的基礎，仍有其存在的價值。

說明

Haar Wavelet 小波理論的母小波可由以下函式表示：

而 Haar 的傅立葉變換為：

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出格式為實數，多通道，regular的訊號(signal)。參數說明詳見下表。

參數名稱	參數定義	預設值
Filter Bank Level	正交基底數，從零開始。1是兩組基底，5是六組基底，以此類推。	1
Resampling Method	逼近方法，請參考 Resampling	Linear

範例(Example)

明顯方波的特性集中在第四條，而在原方波不連續點處，第二與三條依然強烈地保留此跳躍特性，高頻雜訊大多集中在第一條。

如此處理，可見雜訊被消除，原方波的特性被保留下來。

相關指令

Mixer，Multiplier，Fourier Transform，Hilbert Spectrum

參考

http://amath.colorado.edu/courses/4720/2000Spr/Labs/Haar/haar.html

Hilbert transform 為對輸入訊號與作折積（即 Convolution )，將一個實數的時間訊號轉換為一個複數平面上的解析訊號，而它的實部為輸入訊號，虛部則是對輸入訊號做折積後的部份， 根據解析訊號的性質可定義出訊號瞬時的瞬時頻率、瞬時振幅，其應用在通訊系統及無線電訊號處理及分析上有相當不錯的成果。

說明

若代表時間序列，則它的 Hilbert Transform定義為：

並定義一解析函數：

，，

其中為振幅(亦原訊號之包絡線)，而為相角；在解析函數的極座標表示中，可進一步定義 Hilbert Transform 的瞬時頻率(instantaneous frequency)：

模組之輸出

除此之介紹外，可參考 Hilbert Spectrum。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出格式為複數，單通道，regular的訊號(signal)。

Hilbert transform 的參數為 Output Type，設定轉換結果呈現的格式，選項有 Complex、Split Complex、Phase、InstantFrequency 與 Instant Amplitude 等，其中 InstantFrequency 演算上可分為 Simple 法 與 Barne 法，各選項之意義詳見下表說明。

選項名稱	意義
Complex	輸出解析訊號Z，資料儲存為複數。
SplitComplex	將解析訊號 Z 的實部 X 與虛部 Y 分作兩個通道，儲存其數值大小。
Phase	解析訊號 Z 的相位角對應各時間點的值(介於-180度~180度之間)。
Unwrapped Phase	解析訊號 Z 的相位角對應各時間點的值(過360度後不歸零)。
InstantAmplitude	解析訊號 Z 的振幅對應各時間點的值。
InstantFrequency	解析訊號 Z 的相位角對時間的微分，既瞬時頻率。

範例 ( Example )

範例 I ：用 Source 模組產生一個 sine wave 訊號，直接作 Hilbert Transform，並藉調整 Hilbert transform 的 Output Type 以瞭解各參數項之意義。

相關指令

XYPlot，Hilbert Spectrum。

參考資料

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

自我相關性就是一個時間訊號與它自身作折積 ( Convolution )，以作為相關性分析之依據，自我相關性分析可瞭解一個訊號在時間尺度上改變的有多快，及觀察訊號是否有週期性的變化。

說明

自相關的的解析定義為:

，其中為之共軛，為訊號之週期，為時間延遲。

在離散化的情況下，令代表長度為N之時間序列，相關公式為：

，

而在時，等同均方值

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為實數，單通道，regular的訊號。本模組無其它的參數設定。

範例(Example)

本範例分別對 sine wave 與一個 white noise 訊號作自我相關分析，再以兩輸入訊號混合後之訊號作自我相關分析。

相關指令

Cross Correlation，Mixer。

參考

http://en.wikipedia.org/wiki/Autocorrelation

CrossCorrelation，交互關聯是將一時間訊號與另一時間訊號作旋積 ( Convolution )，以作為相關性分析之依據；通常將不了解的訊號與一已知性質的訊號作交叉相關分析，藉此探求該訊號之特性。

說明

CrossCorrelation 之解析數學定義為:

，為時間延遲項。

在離散數列的情況下，假設、在延遲為的交互關聯定義為：

，

交叉相關轉換結果訊號長度為 N+M-1，不具對稱性，其最大值遵守下述的不等式：

若對兩輸入訊號在統計上來說是兩獨立事件，則；若是分析訊號對自身的相關性，計算，此分析即為Auto Correlation。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入，且須有兩個輸入訊號；輸出訊號格式為實數，單通道，regular的訊號。輸入兩個訊號長(可以不一樣，不過限制是兩訊號的取樣頻率與時間單位必須一樣。

範例(Example)

先產生一組white noise 作原訊號，截取其中一段資料，產生另一個雜訊合成出第二組訊號，以這兩組訊號作 Cross Correlation 觀察兩者間關係。

上圖代表輸入訊號 1 與訊號2 在時間點為 -1.5 sec 時有很強的相關性，基本上第二個輸入訊號在 1.5 sec 至 5 sec 的資料與第一個輸入訊號 0 sec 至 3.5 sec 的資料是完全一樣的，此結果符合兩輸入訊號的特性。

相關指令

Auto Correlation，Data Selection，Mixer，Time Shift。

MSE是Multiscale Entropy（多尺度熵）之縮寫，是分析系統的時間序列的複雜度。複雜度越高代表系統愈健康。此法可應用於分析生物(biological)、地球科學(earth science)及機械振動(mechanical vibration)的訊號。

此複雜度的意義與傳統熵 (Entropy) 值有所不同；在傳統熵值觀念中若系統愈規則熵值愈低反之系統愈混亂熵值愈高。在新的観念中，複雜度愈高代表系統愈健康(在此高低是相對量)，系統太規則或系統太混亂都是不健康的狀況(因為此時複雜度較健康系統低)。將每個尺度的時間序列，計算出對應的熵值，即為多尺度訊號熵分析，訊號的複雜度則展現在多種尺度下熵值的變化。

本模組中熵的計算的採用 Sample Entropy。它改進了 Approximate Entropy；更具體的說，它比 Approximate Entropy 所需的資料量更短。

多尺度的概念，假設尺度(scale)為則該尺度下之時間序列經定義表示為 :

數列中每個點即為每尺度內之平均數。對於每個尺度計算 Sample Entropy :

在上式中，表式滿足其中 d 是為歐幾里德幾何學中的距離函數 :

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為實數，單通道或多通道，regular的訊號。參數說明詳見下表。

參數名稱	參數定義	預設值
MinScale	最小尺度。作多尺度分析時設定尺度縮放之下限值	1
MaxScale	最大尺度。作多尺度分析時設定尺度縮放之上限值	20
ScaleStep	尺度步長，於尺度上限以下取一步幅長，依此步幅長遞增(減)尺度至最大(小)尺度。	預設值=1
MatchPoint	設定比較相似度之數列長度	2
MatchTolerance	判斷相似度所設定的容忍誤差值，即原式中的 r	0.15

範例(Example)

本範例針對人體生理訊號為分析：

相關指令

Noise，Viewer。

參考資料

1. Pincus, S. M., Approximate entropy as a measure of system complexity, Proceedings of the NationalAcademy ofSciences, USA, Vol. 88, pp. 2297-2301 (1991).

2. Costa M., Goldberger A.L., Peng C.-K. Multiscale entropy analysis of physiologic time series. Phys Rev Lett 2002; 89:062102.

3. Costa M, Peng C-K, Goldberger AL, Hausdorff JM. Multiscale entropy analysis of human gait dynaiics. Physica A ,2003;330:53-60.

4. Costa M., Goldberger A.L., Peng C.-K. Multiscale entropy analysis of biological signals. Phys Rev E 2005;71:021906.